第32章：Einstein’s narrower path; loop variables（爱因斯坦的窄路径；圈变量）
Roger Penrose
摘自：The Road to Reality（Jonathan Cape, 2004）
📖 章节详细总结
本章是彭罗斯在量子引力路线之争中的一次鲜明表态。上一章讨论弦论时，他已经明言弦论绝不是”城里唯一的游戏”。到了这一章，他转而展示另一条更”收敛”、更”爱因斯坦式”的进路：不引入额外维度，不以超对称为起点，而是正面处理真实的四维洛伦兹时空与真实的爱因斯坦场方程，在此框架内寻找量子化的可能。这条路线的核心人物是 Ashtekar，核心工具是 Ashtekar 变量、圈变量与自旋网络。在彭罗斯看来，这条路虽然同样陌生甚至在某些方面比弦论更反直觉，但至少更直截了当地面对”如何量子化广义相对论本身”这个问题。
正则量子引力的困难
本章开头从正则量子引力讲起。所谓正则方法，是先把广义相对论写成哈密顿形式，再对经典共轭变量实施标准正则量子化，把它们提升为算符。然而广义相对论在这里遇到的麻烦远超普通力学。
第一重困难来自广义协变性：坐标本身没有物理特权，因此”选定一套坐标再量子化”天然带有风险。即便在平直时空中，一旦使用曲线坐标，把动量替换为 −iℏ∂/∂x 的规则就不总是可靠；到了弯曲时空里，问题只会更加严重。第二重困难来自哈密顿量本身的非多项式结构：经典广义相对论中变量的组合极为复杂，常常带有难以处理的分母和平方根。第三重困难是约束方程：在初始类空三维超曲面 S 上，除了控制”向未来演化”的哈密顿方程，还有一整套必须在 S 内部满足的一致性条件。这些约束不是附赠的装饰，而是确保后续演化自洽的根本保证。
正则量子引力的历史可以追溯到 1932 年的 Dirac。他为了处理爱因斯坦理论中的复杂约束，专门发展了一套新的量子化框架。此后几十年，许多人不断推进，但始终困于哈密顿量的复杂非多项式形式。直到 1986 年，Ashtekar 通过极其精妙的变量选择（部分受 Amitabha Sen 早期思路启发），把约束大幅简化为多项式形式，消除了最碍事的分母结构。这一进展的本质不是改写了物理定律，而是换了一套描述语言之后，问题突然清晰起来。
Ashtekar 变量与手征性
Ashtekar 原始变量最引人注目的特征在于手征性：它们对引力子的左手态与右手态区别对待。理解这一点，需要先回忆质量为零的粒子只具有两种螺旋度态。光子自旋为 1，对应螺旋度 ±1；引力子自旋为 2，对应 ±2。
为什么引力是自旋 2？彭罗斯给出了一个几何化的解释。电磁波是矢量场：绕传播方向旋转 π 会翻号，再转到 2π 才复原，这正是自旋 1 的特征。引力波则对应时空畸变，其图样是四极型的：绕传播方向转 π 时畸变图样已经回到自身，转 π/2 才翻号，这正是自旋 2 的典型行为。于是引力的两个基本螺旋度态自然就是 +2 与 −2。
要精确表述这种手征结构，需引入对偶张量。对 Maxwell 张量 F 与 Weyl 张量 C，分别可以定义对偶 F 和 C（借助 Levi-Civita 张量 ε_{abpq}），再将它们拆成自对偶与反自对偶两部分。右手光子与右手引力子由自对偶部分 ⁺F、⁺C 描述，满足 ⁺F = i⁺F、⁺C = i⁺C；左手态由反自对偶部分 ⁻F、⁻C 描述，满足 ⁻F = −i⁻F、⁻C = −i⁻C。原始 Ashtekar 方案让自对偶与反自对偶部分扮演不同角色，因此从一开始就带着左右不对称。
彭罗斯对此不下断语，但显然认为不应轻易忽视。一种解读是：这只是一种方便计算的数学偏置。另一种更激进的解读是：自然在根子上就有手征偏好，弱相互作用中的宇称破缺不过是这种深层结构的表面显现。如果量子引力真是所有物理的底层框架，那内建手征性也许并非偶然——正如异质弦（heterotic string）和扭量（twistor）理论都各自带有手征结构一样。
Ashtekar 变量的具体形式
在技术层面，Ashtekar 变量选择四维洛伦兹时空中的一种二旋量结构，把未加撇旋量 ψ^A 视为更基本的对象。正则变量的一边是初始超曲面 S 上的内禀逆三度量 g（扮演动量角色），另一边是限制在 S 上的自旋联络 G（扮演位置角色）。关键在于，G 不是单纯的三维内部联络，而是四维时空旋量沿 S 内曲线平行移动时所感受到的联络——因此它同时编码了 S 的内禀几何与 S 嵌入四维时空时的外曲率信息。具体地，G 可以分解为
G = G₁ + iG₂
其中 G₁ 对应 S 的内禀曲率，G₂ 对应外曲率（即 S 在时空 M 中如何弯曲）。若选择相反手征，则为 G₁ − iG₂。这个复联络的纤维群是 SL(2,ℂ)。
正是在这里出现了技术障碍：SL(2,ℂ) 是非紧群，其不可约表示包含大量无穷维且非幺正的情形，给严格量子化带来巨大困难。
Barbero–Immirzi 参数
为了绕过这一障碍，后续研究改用修正联络
G^γ = G₁ + γG₂
其中 γ 是非零实数，即著名的 Barbero–Immirzi 参数。这样做的好处是：相关群从 SL(2,ℂ) 变为 SU(2)。SU(2) 是紧群，其不可约表示全是有限维且幺正的，数学上友好得多。在经典层面，G 与 G^γ 只差一个正则变换，辛结构等价；但在量子层面，正则变换未必保持理论等价。这正是彭罗斯反复提醒读者的要点：量子化过程并不天然尊重经典层面的”换坐标”等价性。因此，G^γ 也许只是一个好用的近似入口，也可能悄悄改写了理论的物理内容。在原书中，彭罗斯指出除 γ = ±i 与 γ = 0 之外的实数值”似乎缺乏几何正当性”，但偏差被假定为”不大”。
在 G^γ 框架下，SU(2) 表示与普通非相对论量子力学中的角动量表示完全同构。每种”几何激发”可用 j = n/2 标记，n = 0, 1, 2, 3, …。这为此后的圈变量与自旋网络提供了离散标号体系。
圈变量
为了在超曲面 S 上更显式地处理广义协变性，人们不再直接追踪局域度量分量，而是考虑联络沿闭合回路平行运输所得到的 holonomy（整体相位）。把一个未加撇旋量沿 S 中某闭合回路搬运一圈，回到起点后会得到一个 2×2 复矩阵 T^A_B；其迹 T^A_A 是与旋量基选择无关的复数，只取决于联络与回路本身。这正是 Wilson 圈思想在广义相对论中的实现。1988 年，Rovelli、Smolin 与 Jacobson 把这类量称为圈变量，并把它们的本征态当作构成量子几何的基本态。
这些基本态的几何图像极不”光滑”。彭罗斯强调，它们不是通常意义上的连续度量，而更像 δ 函数型几何。但需要注意：集中的不是曲率（那会类似 Regge calculus 中的锥形缺陷，曲率沿低维子流形呈 δ 函数分布），而是面积测度。想象 S 中一张测试二维曲面 T。T 只有在与某条回路相交时，才获得面积贡献；在别处完全没有贡献。每个交点贡献一个离散面积量子
8πGγℏ√(j(j+1))
其中 j = n/2 是该回路的”自旋值”。也就是说，空间几何不是”到处有一个小小的度量”，而是”只有当二维探针切到一条带自旋标记的线时，面积才突然跳出一个量子值”。这是圈量子引力最著名的离散几何图像之一。
与弦论的对照
彭罗斯特别把这一图景与弦论对比。弦论通常以某个光滑背景（如 Minkowski 时空乘以 Calabi–Yau 空间）为出发点，本质上是微扰的：先在近乎平直的背景上做弱场展开，再试图逐步偏离。圈变量方法则是非微扰的：它一开始的基本态就是极端不光滑的、远离经典时空的几何激发。若要恢复近似经典的连续几何，必须把大量离散线状激发以近乎均匀的方式”编织”起来，形成所谓 weaves（编织态）。因此，经典空间不是出发点，而是大量非经典离散激发的集体近似。
这也是一种深刻的拓扑图景：在回路之外，度量甚至没有定义，因此”两条回路相距多远”这个问题无法提出。真正有意义的，只是回路之间是否缠结、链接、相交。拓扑关系成为首要信息。
结与链的数学
圈量子引力于是不可避免地与纽结理论、多项式不变量、图解代数联系起来。彭罗斯概述了 Alexander 多项式、Jones 多项式、HOMFLY 多项式、Kauffman 多项式等工具，指出这些数学对象部分正是受物理学启发而发展的。
这些结构可以理解为张量图解代数的一种推广：当”指标线”相互交叉时，”从上穿过”与”从下穿过”是不同的。在 Kauffman 代数中，基本恒等式把一个交叉表示为两种无交叉连接方式的线性组合，系数为 A 和 A⁻¹，其中 q = A² = e^{iπ/r}。当 A = 1 时，就退化为自旋网络理论底层的 binor 演算——此时交叉顺序不再重要。这些 q-变形结构有时被（颇具误导性地）冠以”量子群”之名，但彭罗斯提醒读者，”量子群”与量子理论之间并无清晰直接的基础联系，其在基础物理中的应用目前仍主要是猜测。
拓扑量子场论的旁注
彭罗斯顺带谈到拓扑量子场论（TQFT）。其特征是局域场方程消失，但全局拓扑结构与奇点/缺陷仍携带物理信息。1+2 维广义相对论是一个好例子：三维中 Weyl 张量恒等于零，而真空中 Ricci 张量也为零，所以局域处处平坦；但点源制造一个锥形缺陷（类似宇宙弦的空间几何截面），使全局结构非平凡。量子化后源线可以弯曲、缠结，从而与纽结理论产生联系。
彭罗斯认为这类拓扑理论在数学上很漂亮，但若直接当作真实物理理论则嫌”空洞”，因为它们缺少真正传播未来信息的场方程——已知物理大多依赖非平凡的场方程来控制场的传播与演化。不过他同时指出，拓扑量子场论的思想也许能与扭量理论结合，因为在扭量空间的描述中，场方程恰恰在局域上消失了（见第 33 章末尾）。
自旋网络
仅有不相交的回路还不足以构成量子几何的正交基，必须允许回路相交，于是自然进入自旋网络。这里颇具历史意味。
彭罗斯本人早在 20 世纪 50 年代就研究自旋网络，但当时的目标不是量子引力，而是一个更激进的纲领：从纯粹的离散组合结构中涌现出空间。他受离散主义与某种马赫原则的影响，设想空间不应是预设背景，而应从对象之间的关系中”长出来”。他选择总自旋 j 作为基本离散量，把 n = 2j 当作最自然的组合标记。
具体做法是这样的：取一批”n-单元”（总自旋为 nℏ/2 的系统，可以是基本粒子也可以是复合体——比如正交氢或仲氢，分别有 n = 2 或 n = 0），让它们通过合并与分裂相互作用，每次耦合的结果和概率完全由量子力学的角动量耦合规则决定。关键特征是：每个节点恰好三条线汇合（三价节点），此时耦合方式唯一，网络的拓扑（图结构）加上线上的自旋标号就完全决定了所有概率——不需要任何背景空间信息。
彭罗斯开发了一套纯组合（计数）规则来计算这些概率（它们全是有理数）。尽管规则来源于标准量子力学的自旋耦合，但人们可以”忘掉”其来源，把自旋网络视为一个自足的组合宇宙。从足够”大”的自旋网络中，可以提取出方向与角度的概念：大自旋单元的旋转轴定义了”空间方向”；从一个大单元上摘下一个 1-单元，贴到另一个大单元上，通过观察自旋增减的联合概率就能度量两个轴之间的”夹角”。
不过，单靠这一步还不够，因为需要区分来自量子纠缠的”真概率”和来自信息不足的”无知概率”（正如密度矩阵中两种概率的微妙交织，见第 29 章）。解决办法是：重复搬运操作并只保留概率前后一致的情形。彭罗斯证明了一个几何定理：在满足这一筛选条件的大自旋网络族中，所定义的”角度几何”恰好就是普通三维欧氏空间中方向之间的角度关系。换言之，欧氏几何竟然仅仅从自旋网络的量子组合学中涌现出来。
从原始自旋网络到圈量子引力中的自旋网络
原始自旋网络与圈量子引力中的自旋网络既相似又不同。相似之处在于，两者都把空间拆解为更离散、更量子化的结构。不同之处有好几层：
- 原始自旋网络中 n 表示角动量；圈量子引力中 n 更像面积量子的标记，量纲上多了引力常数 G 的参与。
- 原始网络只有三价节点，耦合方式唯一；圈量子引力中常见的是四价甚至更高价节点——两条回路相交就产生四价节点。四价及以上的节点需要额外的”缠结器”（intertwiner / 交织算符）数据来消歧。一种表示方式是把一个”X”形四价节点表示为若干”H”形三价节点对的线性组合，具体系数即 intertwiner 信息。
- 原始网络是纯粹的组合图，不需要嵌入任何背景；圈量子引力中的自旋网络嵌入在一个无固定度量但具有拓扑（甚至解析）结构的三维流形 S 中。网络线之间的打结、链接方式本身成了量子态信息的一部分。
总之，圈量子引力对”空间”的理解，已经从连续度量场彻底转向”拓扑嵌入的带标号图”。
动力学的缺口与黑洞熵的成绩
彭罗斯立刻提醒：到目前为止，这套图景主要解决的是约束——即在单个类空切片 S 上哪些态是允许的——而不是完整动力学。最棘手的问题仍然是哈密顿约束：如何按照爱因斯坦方程从一个切片演化到另一个切片。Thiemann 给出过重要的候选方案，但是否真正对应爱因斯坦理论的量子动力学，尚无定论。
尽管如此，圈量子引力在黑洞熵问题上取得了极为亮眼的成果。利用自旋网络直接对黑洞地平线自由度进行计数——在四维 Schwarzschild 或 Kerr 真空黑洞几何中操作——可以导出 Bekenstein–Hawking 熵公式
S_BH = A/4（自然单位 k = c = G = ℏ = 1）
但要精确得到 1/4 这个系数，需要把 Barbero–Immirzi 参数取为
γ = log 2 / (π√3)
彭罗斯指出，这一选择在带电、旋转、含宇宙学常数等更一般情形中均给出正确熵值。而且，用两种完全不同方式计算的两个无穷数列需要逐项一致——事实上它们确实一致。这似乎反映了量子几何思想的某种深层内在自洽。
然而彭罗斯对此仍不完全信服。问题有二。其一，γ 的这个数值缺乏清晰的几何理由。其二，一旦 γ 取实数，原先那引人注目的手征结构就几乎消失了。G^γ 所描述的旋量搬运变成了一种左右手混合、物理含义颇为模糊的操作——彭罗斯觉得这”特别晦涩”。
总体评估
本章末尾是彭罗斯对圈量子引力地位的总体评判。他的态度可以概括为”极高评价，深层保留”。
肯定之处：Ashtekar 变量与圈变量是正则量子引力自 Dirac 以来最重要的进展。它们不绕开爱因斯坦理论，而是正面处理；确实把离散几何和拓扑结构以深刻方式带入了量子引力；而且近期已不再限于纯引力，也开始纳入电磁学等物理相互作用。
保留之处至少有四条：
1. 变量选择的物理正统性。理论不得不使用 G^γ 而非几何上更自然的 G，这让其物理可信度打了折扣。
2. 完整动力学仍然缺失。自旋网络很好地编码了约束，但完整的哈密顿演化尚未明确给出。
3. 三维切片依赖与时间问题。这种方法本质上仍在正则框架内——先选一个三维切片，再讨论其上的量子态。四维完全协变性与”时间问题”（在广义相对论中，时间演化与坐标变换无法清楚区分）并未真正解决。
4. 叠加态的诠释困难。这是彭罗斯最关切的一点。如果两个自旋网络态都只以拓扑和标号给出，我们甚至难以说清”它们分别位于哪里”，更难理解近似经典的世界如何从其叠加中浮现。这其实是第 30 章引力 OR 问题的更严重版本。
彭罗斯进一步把自己的客观坍缩（OR）思想带入讨论。他认为真正的量子引力理论恐怕必须偏离标准量子力学，让态矢量约化 R 成为真实物理过程。如果真是这样，自旋网络边上的 n 值也许不只是抽象标号，而与某种实际的测量过程（R 过程）有关；引力、概率与几何离散化就不应被彼此割裂。他坦承这一层目前还只是猜测。
最后彭罗斯简要提到几项扩展。圈变量方法已可纳入电磁学；自旋泡沫（spin foam）把自旋网络”时间化”，让边演化成带自旋标记的二维面，从而试图给出更四维的描述（由 Crane、Barrett 等人发起，此后多人推进）；还有与扭量理论的潜在联系。他也提到已有人开始研究圈量子引力对时空奇性的影响（如 Bojowald 的工作），但他”看不出必要的时间不对称性在其中涌现”。
全章收束时的基调不是宣告胜利，而是勾勒一条极具原创性、局部成果亮眼、但根本问题仍远未解决的研究路线。
🔑 核心概念与术语
- 正则量子引力：把广义相对论写成哈密顿形式后实施正则量子化的路线。
- 广义协变性：坐标选择无物理特权，理论应对坐标变换保持形式不变。
- 约束方程：定义在初始类空超曲面 S 上的一致性条件，确保数据可以自洽地向未来演化。
- Ashtekar 变量：以三度量 g（动量）与自旋联络 G（位置）重写广义相对论的正则变量，使约束多项式化。
- 手征性（chirality）：左右手、不同螺旋方向的非对称处理。
- 自对偶 / 反自对偶：复二形式或曲率张量分解后满足 f = if 或 f = −if 的部分。
- 螺旋度（helicity）：零质量粒子沿传播方向的自旋投影；光子 ±1，引力子 ±2。
- 自旋联络 G：描述旋量在四维时空中平行移动的联络；Ashtekar 方案中的”位置变量”。
- G = G₁ + iG₂：G₁ 对应 S 的内禀曲率，G₂ 对应外曲率。
- Barbero–Immirzi 参数 γ：把复联络替换为实 SU(2) 联络 G^γ = G₁ + γG₂ 时引入的实参数。
- Wilson 圈 / 圈变量：联络沿闭合回路 holonomy 的迹，是规范不变的物理量。
- holonomy（和乐）：旋量沿闭合路径平行移动一圈后所得到的群元素。
- 圈态：以闭合回路为支撑的量子几何基本态。
- 面积量子：测试曲面与带自旋边相交时获得的离散面积 8πGγℏ√(j(j+1))。
- weaves（编织态）：大量离散圈态或网络态的近均匀叠加，用以近似经典几何。
- 结与链：回路之间的打结、链接、相交等拓扑关系，是量子态的基本信息。
- q-变形 / 量子群：由纽结理论与图解代数推广出的代数结构；q = e^{iπ/r}，A = 1 时退化为 binor 演算。
- 拓扑量子场论（TQFT）：局域场方程消失、但全局拓扑与缺陷仍携带物理信息的理论。
- 自旋网络：边带自旋标号 n、节点带耦合规则的图结构，用以表示量子几何态。
- 三价节点 / 四价节点：三条或四条边在一点汇合；四价及以上需额外 intertwiner 数据。
- intertwiner（缠结器 / 交织算符）：指定高价节点处各边自旋表示如何耦合的额外数据。
- 哈密顿约束：给出真正动力学演化的约束，是圈量子引力尚未完全解决的核心难题。
- 黑洞熵计数：通过地平线附近自旋网络自由度计数导出 S_BH = A/4。
- 自旋泡沫（spin foam）：自旋网络的四维推广——边演化为带自旋标记的二维面。
- 时间问题 / frozen time：在广义协变理论中，时间演化与坐标变换难以区分。
💡 关键洞见与论证
- “量子引力不能只走弦论一条路”是本章的立论基调。彭罗斯系统辩护了四维、非超对称、直接量子化爱因斯坦方程的路线。
- 真正的突破往往来自语言重写，而非物理定律的修改。Ashtekar 的贡献在于找到让约束多项式化的变量——物理不变，表达方式变了，难题就松动了。
- 引力子的自旋 2 不是抽象标签，而有鲜明几何内容。引力波的四极畸变决定其旋转变换性质：转 π 不变，转 π/2 翻号。
- 手征性可能只是技术便利，也可能是自然深层结构的线索。弱相互作用的宇称破缺也许暗示某种根本手征性——Ashtekar 变量恰好敏感于此。
- 圈量子引力的”离散”绝非把空间切成小格子。几何测度沿图结构集中、格子外无度量——这与朴素格点化截然不同。
- 面积比距离更原始。在圈态图景中，距离无先验定义；能直接测量的是测试曲面与自旋边相交时获得的面积贡献。
- 圈方法从根本上是非微扰的。它不是从经典背景上加小涨落，而是从高度非经典的几何激发出发，再集体逼近经典时空。
- 拓扑信息成为基本自由度。结、链、打结方式不是装饰，而是量子几何本体的一部分。
- 自旋网络让”空间由关系生成”这一古老哲学在量子引力中复活。欧氏几何竟可从纯组合学中涌现——这既是数学定理，也是物理纲领。
- 原始自旋网络与圈量子引力中的自旋网络之间有概念迁移：前者的 n 是角动量，后者的 n 是面积谱标记。形式相通，物理内涵已变。
- 节点不是简单连接点，而是局域耦合规则的载体。高价节点需要 intertwiner，意味着”几何怎样拼接”本身也是量子自由度。
- 理论的最大短板仍是动力学。约束层面很强，不等于已获得完整量子时空演化。
- 黑洞熵计数是圈量子引力最硬的成绩之一。它直接在四维爱因斯坦几何上操作，而非借助高维背景——与弦论路线形成鲜明对照。
- Barbero–Immirzi 参数是双刃剑。它让理论可操作，但也引发”理论究竟偏离原始几何多远”的根本疑问；而且一旦取实数值，手征结构便丧失殆尽。
- 时间问题悬而未决。动力学与协变性的统一，仍是圈量子引力面前的根本障碍。
- 彭罗斯坚持：真正的量子引力可能必须改变量子力学本身。正因如此，他对圈量子引力既欣赏又不愿完全接受——因为后者基本上仍在标准量子力学框架内运作。
🔗 跨章节联系
- ← 第 31 章：本章几乎是对弦论路线的平衡回应。弦论强调高维、超对称、微扰框架；本章回到四维、非微扰、直接处理爱因斯坦方程的路线。
- ← 第 19 章：广义协变性、Ricci 曲率、Weyl 张量、自旋联络等概念均来自广义相对论的几何基础。
- ← 第 21 章：正则量子化、共轭变量、坐标变换下量子化规则不稳定等问题，是本章的技术背景。
- ← 第 22 章：自旋、螺旋度、SU(2) 表示、角动量量子数 j 与 m，是理解自旋网络与面积本征值的基础。
- ← 第 25 章：未加撇/加撇二旋量、弱相互作用的手征不对称，为 Ashtekar 变量的手征选择提供语言。
- ← 第 30 章：彭罗斯把圈量子引力尚未解决的”叠加如何变成经典现实”问题，直接连到自己的 OR / R 设想。
- ← 第 31.15 节：黑洞熵问题。本章给出一种不同于弦论的解释路径，且更接近四维经典黑洞本身。
- → 第 33 章：本章多次铺垫扭量理论，尤其是自对偶、手征性、拓扑量子场论可能的结合点。
- ↔ 第 33.1 节 / Regge calculus：本章比较了”曲率沿低维子流形集中”的 Regge 式思路与”面积测度沿回路集中”的圈量子引力思路——两者的 δ 函数集中位置完全不同。
✨ 金句摘录
- “Despite string theory’s popularity, it would be an absurdity to take the view … that it is ‘the only game in town’.”
尽管弦论很流行，但若认为它是”城里唯一的游戏”，那就是荒谬的。
- “The original Ashtekar approach treats these two states differently. Thus this formalism is left–right asymmetrical!”
原始 Ashtekar 方案对这两种态区别对待——因此这套形式是左右不对称的！
- “The basic loop states … are very far from flat (or classical), having delta functions in the area measure along the loops.”
基本圈态……与平直（或经典）几何相距甚远，面积测度沿回路呈 δ 函数式集中。
- “The only things that have significance are the topological ‘linking’ and ‘knotting’ (or intersecting) relations among loops, and the discrete ‘spin’ values that are assigned to them.”
真正有意义的，只是回路之间的拓扑链接、打结或相交关系，以及赋予它们的离散”自旋”值。
- “In this way, notions of ordinary Euclidean geometry are seen to arise merely from the quantum combinatorics of spin networks.”
由此可见，普通欧氏几何的概念，竟然仅仅从自旋网络的量子组合学中涌现出来。
- “The loop states do appear to address at least some of the profound problems raised by general covariance.”
圈态看来确实触及了广义协变性所提出的一部分深刻问题。
- “In general relativity, one cannot distinguish time-evolution from merely a coordinate change…”
在广义相对论中，人们无法把时间演化与单纯的坐标变换清楚地区分开来。
- “How are we expected to understand how an almost classical world is to emerge out of all this?”
我们究竟该如何理解：一个近似经典的世界是怎样从这一切之中涌现出来的？