第18章：Minkowskian geometry（闵可夫斯基几何）
Roger Penrose
摘自：The Road to Reality（Jonathan Cape, 2004）
📖 章节详细总结
本章的核心任务是把读者从熟悉的欧几里得几何带入狭义相对论的真正几何语言——闵可夫斯基几何。Penrose 的处理方式非常有代表性：他不满足于把狭义相对论当作一组公式，而是要让我们亲眼”看见”，它本质上是一次几何结构的改变——不是在欧氏几何上打补丁，而是把空间与时间一并放进一个带洛伦兹签名的四维几何之中。
§18.1 欧几里得四维空间与闵可夫斯基时空
章节开篇，Penrose 先把欧几里得四维空间 E⁴ 与闵可夫斯基时空 M 并列。E⁴ 只不过是普通三维欧氏空间多加了一个笛卡尔坐标，两点间距离遵循标准勾股公式：
s² = (w − w′)² + (x − x′)² + (y − y′)² + (z − z′)²
无穷小形式为 ds² = dw² + dx² + dy² + dz²。他还顺便提到 E⁴ 中的漂亮构型——三维球面 S³ 上的 Clifford 平行（一族大圆彼此等距、互不相交），虽无法直视四维空间，但通过球极投影仍可获得直观。
闵可夫斯基时空 M 在形式上极为相似，关键差别只在符号：时间坐标与空间坐标在度量中不再同号。Penrose 选用 + − − − 签名：
ds² = dt² − dx² − dy² − dz²
这个选择不是记号偏好，而有物理意义：对质量不为零的粒子，其世界线是类时的，沿世界线积分 ∫ds 给出的恰是理想时钟测得的固有时间。换言之，闵可夫斯基度量不是抽象装饰，而是直接把”时间的流逝”几何化了。
Penrose 特别提醒：零世界线上 ds 恒为 0，因此光子沿其世界线”经历”的时间为零——无论它传播多远。这听起来违反直觉，但正好体现了洛伦兹度量的非正定性：在欧氏几何中，两个不重合的点之间距离不可能为零；在闵氏几何中，沿光锥方向，不重合的事件之间可以拥有零”间隔”。这不是病态现象，而是相对论的核心结构。
随后，Penrose 讨论早期相对论中常见的做法——把时间写成虚数 t = iw，使闵氏度量看起来和欧氏度量一样。这种”虚时间”技巧能在形式上隐藏符号差异，但 Penrose 对此保持明显保留。他认为这只是表面相似：时间坐标必须取纯虚、空间坐标取实，而一换参考系，实虚条件就会混得很复杂。他提到，现代”欧氏量子场论”也用类似手法，作为求解技巧确实有价值，但若当作基本物理理论的根基，则有严重的概念问题（详见后续 §28.9 的批评）。
比起虚时间技巧，Penrose 更偏好一种”彻底复化”的视角：让所有坐标都取复数值，进入复四维空间 C⁴，即 CE⁴ 或 CM。在这个复空间中，度量写作 ds² = dω² + dξ² + dη² + dζ²（ω, ξ, η, ζ 均为复坐标），而 E⁴、M 以及另一种签名约定下的洛伦兹实切片 M̃ 都只是同一个复空间的不同实切片——通过不同的复共轭操作 C 来选取。这是本章一个非常 Penrose 式的思想：不同几何签名之间的关系，最好不是靠生硬替换来连接，而是在一个更高层次的复几何背景中统一理解。
§18.2 闵可夫斯基时空的对称群
E⁴ 的欧氏运动群有 10 个维度：固定原点的旋转群 O(4) 有 6 维（因为 n(n−1)/2 = 6，n = 4），加上 4 维平移。闵可夫斯基时空与之平行：固定原点的对称群从 O(4) 变成洛伦兹群 O(1,3)，同样 6 维；加上 4 维平移，总共得到 10 维的庞加莱群。Penrose 指出，这正是一种从复化角度自然期待的结果：CE⁴ 的对称群是 10 复维的，而不同实切片只是取了不同的实形式。
庞加莱群在相对论物理中地位极高，因为它编码了狭义相对论的全部时空对称性。Penrose 特别指出，正是这个群”足够大”，才保证了相对性原则成立：首先，平移子群的传递性使所有时空点彼此等价；其次，洛伦兹子群使所有未来类时方向也彼此等价——用更正式的语言说，庞加莱群传递地作用在 M 的未来类时方向丛上。这意味着不同惯性观察者之间没有特权差别。相比之下，如果还坚持牛顿式的绝对同时性切片，速度方向的自由度就会被冻结，只剩下 3 维空间旋转 O(3)，无法容纳相对论。
他还预告了后面的深层联系：在量子力学中，基本粒子对应庞加莱群的不可约表示，由质量与自旋来标记（§22.12）。
§18.3 洛伦兹正交性与”钟悖论”
Penrose 用”正交”概念进一步展示欧氏几何与洛伦兹几何的既相似又根本不同。在 E⁴ 中，一个方向不可能与自身正交。但在复化以后，自正交方向出现了；回到洛伦兹实切片 M 时，这些自正交的实方向恰好就是零方向——即光锥方向。这一观察极为关键：它说明”光速方向”不是外加给时空的动力学限制，而是闵氏几何内部自带的结构。
他进而讨论 r 维平面元 h 的正交补 h⊥。在四维中：1 维方向的正交补是 3 维超平面，2 维平面的正交补仍是 2 维平面，3 维超平面的正交补是 1 维法向方向。取两次正交补回到原来：(h⊥)⊥ = h。在欧氏情形里，3 维超平面绝不包含自己的法向；但在洛伦兹几何中却可以——当法向是零方向的时候。
Penrose 用这个观点重新解释同时性。若某观察者在事件 p 处的世界线方向是类时向量 t，则 t⊥ 就是该观察者在 p 处认定为”同时”的空间方向集合。于是，”同时性”不是绝对结构，而由观察者的四速度通过正交补定义。观察者速度一变，正交补超平面随之倾斜，同时性也就改变。更微妙的是，这种倾斜方向与欧氏情形相反：在欧氏几何中方向转动时，正交补朝同一侧转；在洛伦兹几何中，类时方向改变时，正交补超平面朝反方向倾斜。这比通常教材通过时钟同步程序来讲同时性的方式更几何，也更本质。
Penrose 还给出了著名”钟悖论”（双生子佯谬）的几何本质。他把欧氏三角不等式与洛伦兹”反三角不等式”并列：
- 欧氏空间：AB + BC ≥ AC（两边之和不小于第三边，直线最短）
- 闵氏时空（三段均为未来类时）：AB + BC ≤ AC（反过来，惯性直线使固有时间最大）
等号在两种情形下都仅当 A、B、C 共线时成立。于是，远航宇航员的折线路径所经历的时间比留在地球上近似惯性运动的人更短——这就是钟悖论。
Penrose 借此强调：加速度完全可以在狭义相对论中处理。有人常说”一旦有加速度就必须用广义相对论”，这是错误的。把世界线拐角处平滑化（即让加速度有限），结论照旧，时间差不受多大影响。狭义相对论与广义相对论的区别不在于能否处理加速度，而在于所用的度量是否仍为平坦的闵氏度量——物理上就是引力场能否忽略。
§18.4 闵可夫斯基空间中的双曲几何
这是本章最优美的一节。欧氏空间中，到某点距离固定的点集是球面；在 M 中，取实正数 a，方程 ds² = a²（即 t² − x² − y² − z² = a²）给出的不是普通球，而是两片”碗形”曲面：位于未来光锥内的 H⁺ 和位于过去光锥内的 H⁻。Penrose 聚焦于 H⁺，指出它从嵌入的 M 中继承的内蕴几何恰好是三维双曲几何。Lambert 当年猜测”虚半径球面”可能对应某种非欧几何，在这里获得了明确实现：闵氏时空中的伪球面就是双曲空间的模型，其测地线是 H⁺ 与过原点二维平面的交线。
他还展示了一个漂亮的统一图景：在闵可夫斯基空间中截取光锥 t² − x² − y² − z² = 0 的不同截面，随截面的倾斜程度变化，截面的内蕴几何连续地从球面几何经过欧氏几何过渡到双曲几何。具体说，用平面族 (z+t) + λ(t−z) = 2 来截光锥：λ > 0 时得到球面几何（半径 1/√λ），λ = 0 时得到平坦的欧氏几何（截面看起来呈抛物面形但内蕴是平的），λ < 0 时得到双曲几何。三种经典几何竟在同一个光锥上和平共处。
接着，Penrose 指出 Beltrami 的两种经典双曲几何模型——Klein 投影模型与 Poincaré 共形模型——都能从 H⁺ 自然导出：
- 从原点 (0,0,0) 投影到平面 t = 1，得到 Klein 模型（测地线映为直线段）
- 从”南极点” (−1,0,0) 投影到平面 t = 0，得到 Poincaré 圆盘模型（测地线映为与边界正交的圆弧）
这一构造把十九世纪非欧几何的表示法与二十世纪相对论的时空几何统一起来：双曲几何不是相对论之外的独立奇观，而就是速度空间本身。
由此引出快度（rapidity）这一关键量。未来类时方向的集合可以视为有质量粒子的速度空间，而这个速度空间的几何不是欧氏的，而是双曲的。与普通速度 v 对应的自然双曲距离参数是快度：
ρ = ½ log[(1+v)/(1−v)]，即 v = tanh ρ
速度趋近光速时，快度趋向无穷；光速本身对应双曲空间的无穷远边界（就是 Escher 版画中的圆周）。在低速极限下，ρ ≈ v，两者近似相等。
相对论速度合成之所以不是线性相加，而是 (u+v)/(1+uv)，本质上只是因为”双曲长度相加”。同方向速度合成时，直接把快度相加即可；不同方向速度合成时，在双曲空间中使用类似旋转合成的三角法则（与 §11.4 中描述的旋转合成”签名翻转”后完全对应，双曲线段长度取快度的一半）。于是，非线性的速度合成不再神秘——它只是因为速度空间不是平的。
§18.5 天球作为黎曼球
Penrose 把目光推向双曲速度空间的边界——光锥方向形成的二维球面 S²。他将其解释为天球（celestial sphere）：在某事件 O 处，所有穿过 O 的光线方向构成一个球面，这正是观察者当下看到的”天空”。
最微妙的问题是：这个球面有没有对所有观察者都自然不变的几何结构？
度量结构——没有。 不同惯性观察者由于恒星光行差（stellar aberration），会对星空位置有不同测量。光行差由 James Bradley 于 1725–1728 年观测到，机制类似于雨中行车：站着的人看雨是竖直落下的，车里的人觉得雨从前方斜打过来。对天文观测而言，地球公转速度虽远小于光速，但方向在一年中周期性变化，导致恒星视位置出现约 ±20.5 角秒的年周期偏移。因此天球不具有独立于观察者速度的天然度量结构。
共形结构——有。 角度关系是自然保持的。不同观察者之间的天球映射是 Möbius 式的共形变换，圆仍然映成圆，小形状保持相似。于是天球并非天然的黎曼度量球面，却天然是一个黎曼球（Riemann sphere）。
Penrose 还给出了 Synge 的一个不需要计算的精巧论证：考虑事件 O 处的过去光锥 C 和一个过 O 的类时三维超平面 P，两者的交集 S 是一个二维球面。无论哪个观察者在 O 处，S 在空间上的”时间切片”都表现为一个圆；而且这个几何构造完全不依赖于参考系的选取。因此，”一个观察者看到的任意圆形星象图案，另一个观察者也必然看成圆形”。
这是本章最富穿透力的思想之一：它把”相对论中的天空”直接与前面章节的复分析、黎曼球联系起来，也预示了后面旋量（spinor）、扭量（twistor）、零无穷远等更高阶主题。天球上每颗星可以用一个复数（外加 ∞）来标记，即球极投影坐标 z = eⁱᵠcot(θ/2)，这在广义相对论中是标准工具。
Penrose 还借此重新审视 FitzGerald–Lorentz 收缩。表面上看，高速运动的球在运动方向上扁缩，视觉上应呈椭圆轮廓。但实际的视觉效果要同时考虑：球体不同部位发出的光到达观察者所需的路径长度不同——后部光线来自更早时刻（那时球还没走到当前位置），前部光线来自更晚时刻。这种路径长差恰好补偿了长度收缩，因而实际看到的轮廓仍然是圆形。对于视角较小的目标，效果更接近”旋转”而非”扁缩”。这一结果由 Terrell（1959）和 Penrose（1959）独立发现。Penrose 借此强调：表面悖论往往源于把”几何测量”（某参考系中同时切片上的尺寸）与”视觉所见”（光线实际到达眼睛的成像）混为一谈。
§18.6 牛顿理论中的能量与（角）动量
最后两节把视角从纯几何推进到守恒量。Penrose 先回顾牛顿理论。
- 动能：单个粒子 ½mv²；系统总动能为各粒子动能之和（大量粒子随机运动时的总动能对应热能）。
- 势能：取决于力的具体形式；动能与势能可以相互转化，但总机械能守恒。
- 动量：p = mv，矢量量；系统总动量守恒。
- 角动量：M = 2x∧p（其中 ∧ 是楔积，分量为 xⁱpʲ − xʲpⁱ），对某原点 O 而言；系统总角动量守恒。
- 质心匀速运动量：N = tp − mx，其中 t 为时间，x 为质心位置矢量，p 为总动量。N 守恒表达了质心做匀速直线运动这一事实（质心速度 = p/m）。
Penrose 还指出，伽利略相对性下换参考系时（v → v − u），能量和动量的值都会改变，但只要同时考虑质量守恒和牛顿第三定律，就能证明新参考系中守恒律仍然成立。之所以先讲牛顿版本，是因为这些量在相对论中不会消失，而会以更统一的形式重新出现。
§18.7 相对论性能量与（角）动量
在相对论中，能量 E 与三维动量 p 不再是彼此独立的量，而统一为能量–动量四矢量（4-momentum）。按 Penrose 的约定（以 c 显式出现的形式）：
- 度量分量 gₐᵦ 对角为 (1, −c⁻², −c⁻², −c⁻²)，逆度量 gᵃᵇ 对角为 (1, −c², −c², −c²)
- 四动量的上指标形式空间分量为 (p¹, p², p³) = c⁻²p
- 时间分量 p⁰ = E = mc²（这就是爱因斯坦的质量–能量关系）
- 更自然地，四动量写成协变形式 pₐ = (E, −p)
四动量守恒统一了能量守恒、动量守恒和质量守恒——牛顿理论中三条独立定律，在这里合为一条。
需要区分两种”质量”概念。系统的总质量 m̄ 不是洛伦兹标量，它依赖参考系：一个静质量为 m 的粒子，在相对它运动的参考系中测得的质量–能量为 m̄ = γm，其中 γ = (1 − v²/c²)⁻¹ᐟ²。另一方面，静质量（rest mass）m 是洛伦兹不变量，等于在粒子自身静止系中测得的质量，也等于 c⁻²(pₐpᵃ)¹ᐟ²，即：
(mc²)² = pₐpᵃ = E² − c²p²
对单个有质量粒子，四动量是静质量 m 与四速度 vᵃ 的乘积：pᵃ = mvᵃ，其中 vᵃvₐ = c²（即四速度是长度为 c 的未来类时向量）。将粒子的三维速度代入可得：
p = m̄v， m̄ = γm， vᵃ = γ(c², v)
光子等零静质量粒子则拥有零四动量（null 4-momentum），虽然静质量为 0，却仍携带能量与动量。静质量不守恒，因此有质量粒子可以衰变为无质量粒子，反之亦然。典型例子是中性 π⁰ 介子衰变为两个光子（约 10⁻¹⁶ 秒内完成），而在任何参考系中，总质量–能量（而非静质量）是逐项守恒的。
Penrose 还通过泰勒展开给出能量的非相对论近似：E = mc² + ½mv² + …，第一项是静能量，第二项恰好是牛顿动能。
最后，角动量在相对论中被提升为反对称张量：
Mᵃᵇ = xᵃpᵇ − xᵇpᵃ，其中 Mᵃᵇ = −Mᵇᵃ
它有 6 个独立分量，恰好对应庞加莱群中洛伦兹对称性的 6 个生成元：
- 3 个纯空间分量 M²³, M³¹, M¹²：对应普通三维角动量 M = 2x∧p
- 3 个时间–空间分量 M⁰¹, M⁰², M⁰³：对应质心匀速运动量 N = tp − mx
对于惯性运动粒子，Mᵃᵇ 沿世界线不变——这可以直接从 xᵃpᵇ − xᵇpᵃ 对惯性世界线的参数化来验证。（大多数量子粒子还额外带有内禀自旋，为 Mᵃᵇ 提供附加贡献，见 §22.8, §22.12。）
Penrose 在章末预告：庞加莱群的 4 维平移对称性和 6 维洛伦兹旋转对称性，分别通过诺特定理（§20.6）对应四动量守恒和六分量角动量守恒。几何、对称性、守恒律由此完全贯通。
全章回顾
本章并不只是相对论几何入门，而是展示一种统一眼光。欧氏几何、复几何、双曲几何、黎曼球、速度合成、天球共形结构、能量–动量守恒——这些看似分散的主题在闵可夫斯基几何中彼此照亮。Penrose 想传达的不是”记住若干相对论公式”，而是：一旦你接受时空的几何真正改变了，许多看似奇异的相对论现象——钟慢、同时性的相对性、速度不可线性相加、光速边界、质量–能量等价——都会变成几乎不可避免的几何事实。
🔑 核心概念与术语
- 闵可夫斯基时空（Minkowski space, M）：把时间与三维空间合并为四维流形并赋予洛伦兹签名度量的平坦时空，是狭义相对论的基本舞台。
- 洛伦兹度量（Lorentzian metric）：不同于欧氏度量的正定性，典型形式 ds² = dt² − dx² − dy² − dz²，区分类时、类空与零方向。
- 类时 / 类空 / 零（timelike / spacelike / null）：ds² > 0 为类时，ds² < 0 为类空，ds² = 0 为零。分别对应有质量粒子的世界线方向、不可因果连接的空间分隔、光传播方向。
- 世界线（world-line）：粒子在时空中的轨迹。有质量粒子走类时世界线，光子走零世界线。
- 固有时间（proper time）：沿类时世界线积分 ∫ds 得到的物理时间，即理想时钟自身测得的时间。
- 实切片（real slice）：在复化空间 C⁴ 中，通过指定某种共轭操作 C 选出的”实”子空间。E⁴ 与 M 都可看作同一复空间的不同实切片。
- 庞加莱群（Poincaré group）：闵可夫斯基时空的全对称群，含 4 维平移和 6 维洛伦兹变换，共 10 维，是狭义相对论最核心的对称群。
- 洛伦兹群（Lorentz group, O(1,3)）：保持原点不动并保持闵氏度量不变的线性变换群，编码不同惯性系之间的旋转与推进（boost）。
- 正交补（orthogonal complement）：某子空间中所有与给定方向或平面正交的方向集合。在洛伦兹几何中可出现”方向属于自己的正交补”，对应零方向。
- 同时性切片（simultaneity slice）：对某观察者而言，在某事件处与其四速度正交的三维超平面，即该观察者定义的”此刻空间”。
- 钟悖论 / 双生子佯谬（clock paradox / twin paradox）：两条连接同一起讫事件的类时路径中，惯性直线路径使固有时间最大。远行者因走折线路径而更年轻。
- 双曲几何（hyperbolic geometry）：闵氏空间中未来单位伪球面 H⁺ 的内蕴几何；测地线是 H⁺ 与过原点二维平面的交线。
- 快度（rapidity）：相对论中更自然的速度参数 ρ = ½ log[(1+v)/(1−v)]，满足 v = tanh ρ；同方向速度合成时快度直接相加。
- 速度空间（velocity space）：所有未来类时单位方向组成的空间，几何上是双曲空间 H⁺；其边界对应光速方向。
- 天球（celestial sphere）：某事件处所有光线方向形成的二维球面，对观察者而言就是”看到的天空”。
- 黎曼球（Riemann sphere）：带有天然共形结构的球面。Penrose 指出天球天然具有这种结构，而非度量结构。
- 恒星光行差（stellar aberration）：观察者速度变化导致天球上恒星视位置发生偏移，说明天球的度量依赖于观察者状态。
- 能量–动量四矢量（energy–momentum 4-vector）：统一能量与三维动量的四维对象，狭义相对论的守恒量核心。
- 静质量（rest mass）：粒子在自身静止系中测得的质量，是洛伦兹不变量。
- 相对论质量–能量（relativistic mass-energy）：在特定参考系中由总能量对应的质量量度，随参考系而变，m̄ = γm。
- 角动量张量（angular momentum tensor）：反对称二阶张量 Mᵃᵇ = xᵃpᵇ − xᵇpᵃ，统一三维角动量与质心运动量 N。
- 诺特视角（Noether viewpoint）：连续对称性对应守恒律。庞加莱群的 4 个平移和 6 个洛伦兹对称分别对应四动量守恒与六分量角动量守恒。
💡 关键洞见与论证
- 时间不是额外参数，而是几何坐标：Penrose 把”时钟读数”直接写成曲线长度 ∫ds，使相对论时间不再是动力学附属品，而是时空几何的直接测量。
- 相对论的”怪象”大多是度量签名改变的结果：钟悖论、光子固有时为零、同时性的相对性、速度合成非线性，都从 + − − − 洛伦兹度量自然流出。
- 虚时间技巧并非真正的统一：把 t 写成 iw 的”伪欧氏化”做法掩盖而非解释了结构差异。Penrose 偏好复化后将不同签名看作同一复空间的不同实切片。
- 速度空间是双曲而非欧氏的：这是极强的直觉矫正。相对论速度合成之所以复杂，不是速度”古怪”，而是我们在用欧氏直觉丈量双曲空间中的距离。
- 天球的自然结构是共形的，不是度量的：不同观察者对天空的角度关系保持不变，但距离与面积不保持。这把狭义相对论与复分析、黎曼球理论直接接通。
- 洛伦兹收缩不等于”看起来变扁”：Penrose 区分了”某参考系同时切片上的测量结果”（有长度收缩）和”真实视觉成像”（因光行时差而补偿，轮廓仍为圆形）。
- 质量守恒与能量守恒在相对论中被统一：牛顿理论中两条独立守恒律，合并进了四动量守恒。E = mc² 只是这一统一的最著名表述。
- 角动量也必须四维化：普通三维角动量只是更大反对称张量的一部分，另外三个分量对应质心匀速运动。”统一”不仅发生在时空和能量–动量上，也发生在守恒量结构本身。
- 三种经典几何统一在光锥截面上：球面几何、欧氏几何、双曲几何分别对应光锥不同倾斜角度的截面，这一图景极其优美且富有启发性。
🔗 跨章节联系
- 与第17章：第17章建立了狭义相对论的物理需求（光速不变、同时性的相对性、世界线与光锥等）；第18章把这些内容彻底几何化。
- 与第2章（非欧几何）：Beltrami 的 Klein 模型与 Poincaré 模型在本章被重新解释为闵氏时空中双曲面的自然投影，形成跨越二十余章的漂亮回环。
- 与第8章（黎曼球）：天球天然是黎曼球，为后来旋量、扭量、零结构（null structure）的发展提前埋下伏笔。
- 与第11章（旋转合成）：不同方向的速度合成在双曲空间中的三角法则，与 §11.4 的旋转合成恰是”签名翻转”的对应。
- 与第13、14章（张量与群论）：度量张量、升降指标、李群与表示等在这里全部获得具体物理含义，尤其是庞加莱群与洛伦兹群。
- 与第19章（广义相对论）：本章说明加速度仍可在平直时空中处理，广义相对论的真正新内容是曲率与引力导致的非平坦度量。
- 与第20、21、22章：Penrose 明确预告诺特定理、经典与量子理论中对称性–守恒量关系、以及粒子分类与庞加莱群表示论。
- 与更后面的扭量 / 零几何：自对偶与反自对偶复二维平面（§18.3 练习 [18.5] 提及）、天球的复结构、光线空间等内容，都在本章以初步形式出现，属于后续高阶理论的入口。
✨ 金句摘录
- “The time ‘experienced’ by such a particle would always be zero, no matter how far it travels!”
“这种粒子’经历’的时间永远是零，无论它传播了多远！”
- “The integral ∫ds … being directly interpretable as the actual physical time measured by an ideal clock with this as its world line.”
“积分 ∫ds……可以直接解释为以这条世界线为轨迹的理想时钟所实际测得的物理时间。”
- “In the Minkowski case, it turns out that the straight, i.e. inertial, path represents the maximizing of the measured time between two fixed end events.”
“在闵可夫斯基情形中，直线——即惯性路径——反而使两个固定端点事件之间的测得时间达到最大。”
- “Velocity space in relativity theory is the (unit) hyperbolic space H⁺.”
“相对论中的速度空间就是（单位）双曲空间 H⁺。”
- “We cannot regard this sphere as having a natural metric structure, independent of the velocity of the observer.”
“我们不能把这个球面看作拥有一种独立于观察者速度的天然度量结构。”
- “Accordingly, any circular pattern of stars, as perceived by one observer, must also be perceived as circular by any other.”
“因此，一个观察者看到的任意圆形星象图样，另一个观察者也必然看成圆形。”
- “The separate Newtonian conservation laws for energy and mass become subsumed into one.”
“牛顿理论中分别独立的能量守恒与质量守恒，在这里被合并为同一件事。”
- “Mass and energy become completely equivalent to one another.”
“质量与能量变得彼此完全等价。”