第20章：Lagrangians and Hamiltonians（拉格朗日量与哈密顿量）
Roger Penrose
摘自：The Road to Reality（Jonathan Cape, 2004）
📖 章节详细总结
本章是全书中一次关键的”方法论升级”。牛顿力学告诉我们”力如何产生加速度”，而拉格朗日与哈密顿形式则把动力学重写成一种更高阶、更统一、更具几何色彩的语言。Penrose 开篇便强调：从牛顿之后数百年间，Euler、Laplace、Lagrange、Legendre、Gauss、Liouville、Ostrogradski、Poisson、Jacobi、Hamilton 等人做的事远不止在牛顿定律上叠加技术细节——他们逐步揭示了一个更深的事实：物理世界的动力学规律竟能被极其优美的数学结构统一编码。这种优美绝非装饰，而是拥有强大的计算能力、组织能力和概念穿透力。
§20.1 拉格朗日图景
Penrose 先区分两种彼此紧密关联而又各有侧重的图景：拉格朗日图景与哈密顿图景。二者都从”构型空间”出发。所谓构型空间 C，是一个 N 维流形，每一点代表系统的一种完整空间排布。”一个点”不再指单个粒子的位置，而指整个系统全部自由度的总体状态。时间演化表现为 C 中那个代表系统的点 Q 沿某条曲线运动。这一视角极重要，因为它把”多体问题”提升为”高维空间中单点的轨迹问题”。
在拉格朗日形式中，我们研究的是构型空间的切丛 T(C)。每个点由两部分组成：构型空间中的位置 q 与该点处的切向量（即速度信息 q̇）。拉格朗日量 L 是定义在 T(C) 上的函数，写作 L(q₁,…,qₙ; q̇₁,…,q̇ₙ)。广义坐标 qᵣ 与广义速度 q̇ᵣ 在形式上被当作独立变量——Penrose 承认这一点初看令人困惑，但这正是拉格朗日方法的精妙之处。通常 L 的物理意义是动能 K 与势能 V 之差：L = K − V。
核心结果是欧拉–拉格朗日方程：
d/dt(∂L/∂q̇ᵣ) = ∂L/∂qᵣ (r = 1, …, N)
这组方程完整编码了系统的牛顿运动学。Penrose 称赞它”适用范围之广与本质形式之简，令人惊叹”。方程背后对应着哈密顿原理（驻定作用量原理）。作用量是对 L 沿构型空间中一条路径做时间积分所得的量。真实运动轨迹不是任意路径，而是在固定端点条件下使作用量取驻值的那条路径。Penrose 审慎地指出：它未必是最小值，更准确的说法是”驻值”——正如微积分中导数为零并不保证极小，也可能是极大或鞍点。这一思想与测地线高度类比：真实的动力学轨迹就像构型空间中某种广义的”测地线”。
为使讨论不停留在抽象层面，Penrose 选了最经典的例子：匀强重力场中的单个粒子。取 V = mgz，动能为 ½m(ẋ² + ẏ² + ż²)，于是
L = ½m(ẋ² + ẏ² + ż²) − mgz
将 z 代入欧拉–拉格朗日方程，立刻得到 d(mż)/dt = −mg，即 z̈ = −g，直接恢复伽利略自由落体定律。例子虽简单，却显示了拉格朗日法的威力：无须逐一分解受力矢量，无须在每个方向上手列牛顿第二定律——只要写下一个标量函数 L，运动方程便自然浮现。
§20.2 哈密顿图景
哈密顿图景用广义动量 pᵣ 替代广义速度 q̇ᵣ。广义动量的定义是 pᵣ = ∂L/∂q̇ᵣ。对单个自由粒子来说，它通常等于 m 乘以速度，但在一般坐标和约束下并非总是如此。系统状态由 (qᵣ, pᵣ) 描述，它们构成构型空间的余切丛 T*(C)，也就是相空间。相空间同样是 2N 维的，却承载更丰富的几何结构。
余切空间中的自然 1-形式可写成 pₐdqᵃ，其外微分
S = dpₐ ∧ dqᵃ
是一个闭的 2-形式（dS = 0），赋予相空间天然的辛结构。Penrose 用 S（而非文献中更常见的 Ω）来记辛形式。他非常看重这一点：在哈密顿图景中，动力学不再只是”某函数生成某组方程”，而是”辛流形上的几何流”。经典力学在深层上与辛几何有内在联系。
哈密顿量 H 定义在 T*(C) 上。对时间不显含的情形，它通常就是系统总能量。从拉格朗日量到哈密顿量的桥梁是勒让德变换：
H = q̇ᵣ(∂L/∂q̇ᵣ) − L
然后把所有速度变量消去，改写为位置与动量的函数。由此得到哈密顿正则方程：
dpᵣ/dt = −∂H/∂qᵣ， dqᵣ/dt = ∂H/∂pᵣ
Penrose 赞叹这组方程”美妙的对称性”。与欧拉–拉格朗日方程相比，哈密顿方程在 q 与 p 之间呈现出结构上的平衡：一半描述动量如何随坐标变化，一半描述坐标如何随动量变化。合起来，它们定义了相空间上的一个向量场——哈密顿向量场。动力学因此成为该向量场生成的流。
对重力场中单粒子的例子，哈密顿量为
H = (pₓ² + pᵧ² + p_z²)/2m + mgz
代入哈密顿方程后同样恢复牛顿运动定律。
值得一提的是，Penrose 在这里坦诚地讨论了一个记号上的棘手问题。在 §18.7 中，他采用 (+−−−) 号差，此时空间动量分量 p₁, p₂, p₃ 与通常惯例中的动量大小差一个负号（px = −p₁ 等）。因此，当以 xᵃ 与 pₐ（而非 qᵃ 与 pₐ）为变量时，哈密顿方程的符号会翻转。他的处理方式是：在一般讨论中以 qᵃ、pₐ 为准，不去追究每个符号的具体物理解释；只有换回 xᵃ、pₐ 标记时，才需注意符号差异。对于不深究细节的读者，他建议干脆忽略此问题——”多数专家也会如此，直到他们自己写书的那天”。
§20.3 微小振动与正常模
本章用”小振动”作为重要应用来展示哈密顿形式的分析能力。Penrose 考察的问题是：一个处于稳定平衡附近的系统在受到小扰动后如何振动。
最直观的例子是单摆。当偏离平衡位置很小时，位移 q 满足
d²q/dt² = −ω²q
解为 q = a cos ωt + b sin ωt，这就是简谐运动。Penrose 强调，简谐振动并非摆的特殊偶然，而是稳定平衡附近几乎所有经典系统的通用线性近似。伽利略在 1583 年就已观察到：小振幅摆的周期不依赖于振幅大小——这正是简谐运动的标志。
更一般地，对拥有 N 个自由度的系统，在稳定平衡点附近，将平衡点平移到 qᵃ = 0、pₐ = 0，并把哈密顿量按 q 与 p 做幂级数展开。由于平衡对应总能量局部极小，展开从二次项起步：
H = 常数 + ½Qₐᵦqᵃqᵇ + ½Pᵃᵇpₐpᵦ + 三阶及更高阶项
其中 Q 与 P 是正定对称矩阵（Q 的正定性来自势能取局部极小，P 的正定性来自动能总非负）。忽略高阶项后，利用哈密顿方程可得
d²q/dt² = −Wq， 其中 W = PQ
问题于是化为求 W 的特征向量与特征值：Wq = ω²q。由于 P、Q 均正定，ω² 必为正值。每个特征向量对应一种正常模（normal mode），每个 ω/2π 是相应的正常频率（normal frequency）。
结论深刻而普遍：稳定平衡附近的任何小振动，都可以分解为若干彼此独立的正常模，每个模式以自己的简谐频率振动。总共有 N 个正常模（计入简并时要按重数计算）。当正常频率各不相同时，任意两个正常模 q 与 r 相对于矩阵 Q 正交：rᵀQq = 0。
这一结果意义重大。它解释了为何复杂系统——分子、琴弦、鼓膜、空气柱——在小振幅下总能分解成一组独立的频率成分，也为量子力学中振子量子化（§22.11）做好铺垫。
Penrose 还指出，该理论不仅适用于有限维系统，也适用于无限维系统（弦、鼓膜、场等）。有限维中的正常模，在无限维中变成无穷多个傅里叶模态。这一过渡至关重要：现代物理大量研究的对象不是有限个粒子，而是场。无论是电磁场还是弦理论，许多基本粒子与场激发都可以理解为某种系统的正常振动模式。Penrose 明确提到，弦理论中”粒子即弦的振动模态”这一基本图景（§§31.5,7,14），其经典力学原型正在此处。
最后，Penrose 补充了一个重要的对称面。上述分析假设了稳定平衡，但对不稳定平衡同样适用，区别仅在于此时 Q 不再正定，W = PQ 可能出现负特征值。若 ω² < 0，对应的扰动不再振荡回来，而是随时间指数增长——小偏移会迅速远离平衡态。
§20.4 哈密顿动力学即辛几何
本节是全章最具几何深度的一节。Penrose 重新引入泊松括号：
{F, G} = (∂F/∂pₐ)(∂G/∂qᵃ) − (∂F/∂qᵃ)(∂G/∂pₐ)
在辛流形上，给定哈密顿量 H，向量场 {H, ·} 恰好描述系统的时间演化——它”沿着”T*(C) 中代表时间演化的轨迹方向。也就是说，整个动力学可以由一个标量函数 H 在辛结构上生成。Penrose 视此为辛几何”最令人惊异的特征之一”。
接着他引出李乌维尔定理。相空间的体积元取为 2N-形式 S̃ = S ∧ S ∧ … ∧ S（N 个 S 楔积在一起）。辛形式 S 在哈密顿流下保持不变（其李导数为零），因此体积形式 S̃ 也不变——哈密顿流保持相空间体积。虽然一团初始区域会在时间演化中被拉伸、扭曲、卷曲，但其总体积始终如一。这一结果既是经典统计力学的根基，也体现了辛流保体积的深层几何性质。
另一个直接推论：{H, H} = 0，因此 H 沿自身生成的流保持常数，即总能量守恒。系统轨迹永远限制在 H = 常数 的超曲面（2N − 1 维）上。这个等能面上的轨线本身可看作点，做约化后得到”约化相空间”（2N − 2 维），它依旧是辛流形。Penrose 用这一构造展示：哈密顿框架的力量不仅在于写出动力学方程，更在于揭示动力学与几何之间的结构恒等关系。
但他随即插入一段极具辨识度的反思。他说，物理学史反复表明，优美而强大的数学框架并不保证它就是终极真理。”自然界有一种习惯：她先用数学结构的力量与优雅诱使我们陷入欣快而自满的确信，随后又猛然把我们惊醒，告诉我们——原来的图景终究还是不对的。”然而被替换的往往只是”基础解释层”，而非整个数学建筑本身。哈密顿图景就是典范：经典力学虽被量子论修正，但哈密顿结构不仅没有消失，反而成为通向量子理论的重要桥梁——标准非相对论量子力学正是从哈密顿框架跳入的。至于相对论性量子理论，则更多以拉格朗日框架为出发点，引向量子场论。
§20.5 场的拉格朗日处理
Penrose 将拉格朗日方法推广到场论。与有限维系统不同，场在时空每一点都有取值，因此构型空间变成无限维的。此时拉格朗日量不再依赖有限个坐标与速度，而依赖若干场 Φ、Ψ、… 及其导数 ∇ₐΦ、∇ₐΨ、…（场可带张量或旋量指标）。一个关键变化是：时间导数不再享有特权地位，代之以协变导数 ∇ₐ 统一处理时空各方向——这正与相对论的要求合拍。因此，此处的拉格朗日通常被称作”泛函”。
场的欧拉–拉格朗日方程使用泛函导数（以 δ 代替 ∂ 来标记）：
∇ₐ(δL/δ(∇ₐΦ)) = δL/δΦ， ∇ₐ(δL/δ(∇ₐΨ)) = δL/δΨ，……
Penrose 提到，实际操作中泛函导数几乎就是按照普通微积分的规则进行，辅以”相当的数学常识”。他给出了一个具体例子：若 L = ΦₐΦᵇ∇ₐΨᵦ，则 δL/δΦ_c = Φᵇ∇_cΨᵦ + Φₐ∇ₐΨ_c 等等。
哈密顿原理也做了相应推广。原来固定的两个端点 a、b 变成时空中的三维场构型区域 A 与 B，它们围成一个四维时空区域 D。作用量变成
S = ∫_D L ε
其中 ε 是自然四维体积形式。场方程通过 δS = 0 导出——这不再是对”路径”的驻值，而是对”场构型历史”的驻值。Penrose 特别指出，A 与 B 可以合成 D 的边界 ∂D（取相反定向），这幅图景在后面的路径积分量子场论（§26.6）中将再度出现。
§20.6 拉格朗日方法如何驱动现代理论
最后一节讨论拉格朗日方法在现代物理中的核心地位。
首先是诺特定理：每一个连续对称性都对应一条守恒律。时间平移不变性对应能量守恒，空间平移对应动量守恒，旋转对应角动量守恒。若某个广义坐标 qᵣ 不显含于 L，则其共轭动量 pᵣ = ∂L/∂q̇ᵣ 就是守恒量——从欧拉–拉格朗日方程可立即看出 dpᵣ/dt = 0。推广到场论，规范对称性对应荷守恒（如电磁规范不变性 Ψ → e^{iθ}Ψ 对应电荷守恒）。
不过 Penrose 审慎地指出，诺特定理在引力中遇到困难。对广义相对论来说，类似规范对称性的是”一般坐标变换不变性”，但张量方程本身就自动满足坐标不变性，因此诺特定理在此只给出 “0 = 0” 式的平凡结论。引力的能量—动量守恒需要完全不同的思路来处理——即便在渐近平坦时空中，角动量的定义至今仍有未解决的问题。
Einstein 的引力理论可以从拉格朗日法导出，这最早由 Hilbert 于 1915 年完成。Hilbert 的引力作用量是：
S = ∫_D (L − R/16πG) ε
其中 R 是标量曲率，L 是物质拉格朗日量。Penrose 顺带提到一段有趣的历史：Hilbert 当年使用的物质拉格朗日量来自当时颇为流行的 Mie 理论，他甚至相信自己的总拉格朗日量已给出”万物理论”——但今天还有谁记得 Mie 理论呢？
Maxwell 电磁场的自由场拉格朗日量是
L_EM = −¼ FₐᵦFᵃᵇ
其中必须以电磁势 Aₐ 表达 F。有带电场时还需加上耦合项。整个构造必须经受规范不变性的检验；若纳入引力，还需满足坐标不变性（通常通过张量形式或旋量形式实现）。
在现代基础物理中，新理论几乎总是先以拉格朗日泛函的形式提出。好处很多：有利于检验对称性与一致性；相互作用自动满足”牛顿第三定律”式的互易性（若一个场作用于另一个，则反作用也被编码在同一拉格朗日量中）；新场的引入通常只需在已有拉格朗日量上添加新的项；更关键的是，拉格朗日量可以通过路径积分直接通往量子化。
但 Penrose 在结尾表达了他一贯的保留态度。他指出三点不安。其一，拉格朗日方法极其通用，以至于提供的指引太少——并非写出某个拉格朗日量就一定接近了正确理论。其二，拉格朗日密度本身往往缺乏直接可观测意义：Maxwell 的 −¼FₐᵦFᵃᵇ 在三维语言中只是电场与磁场平方之差的 ⅛，谈不上什么明显的物理量度；Einstein 真空引力拉格朗日量 R 在场方程成立时甚至恒等于零；而且 Maxwell 拉格朗日量必须用势 Aₐ 表达才能当作拉格朗日量使用，而势本身不是直接可观测量。其三，不同的拉格朗日量可能导出相同的场方程，有些构造甚至显得繁复而人为。Penrose 的态度可以概括为”会用，但不膜拜”：拉格朗日量是极其强大的数学工具，却未必就是揭示自然本体结构的最终语言。
全章概览
本章完成了三层递进的工作。第一，把牛顿动力学提升为作用量原理与构型空间轨道问题。第二，把动力学进一步几何化为相空间上的辛流与守恒结构。第三，把这套语言推广到场论，为量子力学、量子场论乃至更高层统一理论铺路。在全书脉络中，这一章是从”经典动力学的计算规则”通往”现代物理理论的构造语法”的关键门槛。
🔑 核心概念与术语
- 构型空间（configuration space, C）
系统所有可能空间构型的集合。N 个自由度对应 N 维流形。C 中一个点代表整个系统的一次完整排布，而非单个粒子的位置。
- 切丛 T(C)
在 C 的每一点附加其切向量空间所得的总空间。拉格朗日图景中，一个状态由”位置 + 速度”给出，L 定义在 T(C) 上。
- 余切丛 T*(C) / 相空间（phase space）
在 C 的每一点附加其余切空间所得的 2N 维空间。哈密顿图景中，一个状态由”位置 + 动量”给出，H 定义在 T*(C) 上。
- 广义坐标 q₁,…,qₙ
用来描述系统构型的任意方便参数，不必是笛卡尔坐标。拉格朗日与哈密顿方法的一大优势就是坐标选择完全自由。
- 广义速度 q̇ᵣ
广义坐标对时间的导数。在拉格朗日量中，它与 qᵣ 在形式上被当作独立变量处理——这是变分法成立的关键。
- 拉格朗日量 L
通常取 L = K − V（动能减势能）。它不是简单的”能量”，而是用来生成动力学方程的核心标量函数。
- 欧拉–拉格朗日方程
d/dt(∂L/∂q̇ᵣ) = ∂L/∂qᵣ。等价于牛顿定律的广义形式，适用于复杂坐标、约束系统，并可推广到场论。
- 作用量（action, S）
沿一条历史路径对 L 做时间积分所得的量。真实历史使作用量取驻值。
- 哈密顿原理 / 驻定作用量原理
真实动力学路径是在固定端点条件下使作用量驻定的路径。”驻定”比”最小”更精确。
- 广义动量 pᵣ
定义为 pᵣ = ∂L/∂q̇ᵣ。它是坐标 qᵣ 的共轭量，一般情形下不等于通常的”质量 × 速度”。
- 哈密顿量 H
通常代表系统总能量。由勒让德变换 H = q̇ᵣpᵣ − L 得到，以 (q, p) 为变量表示。
- 哈密顿正则方程
dqᵣ/dt = ∂H/∂pᵣ，dpᵣ/dt = −∂H/∂qᵣ。给出相空间中的时间演化。
- 辛结构（symplectic structure）
相空间上的闭非退化 2-形式 S = dpₐ ∧ dqᵃ（Penrose 记为 S）。它是哈密顿力学的几何骨架，独立于所选的哈密顿量。
- 泊松括号（Poisson bracket）
{F, G} = (∂F/∂pₐ)(∂G/∂qᵃ) − (∂F/∂qᵃ)(∂G/∂pₐ)。刻画可观测量之间的动力学关系，也是通向量子化的重要前身（量子理论中对易子 [F̂, Ĝ] = iħ{F, G} 的对应物）。
- 李乌维尔定理
哈密顿流保持相空间体积不变。形状可以变得极其扭曲，但总体积恒定。这是经典统计力学与可逆动力学的核心结果。
- 正常模（normal mode）
稳定平衡附近的小振动可分解为若干彼此独立的模式，每个模式按单一频率做简谐振动。对 N 自由度系统恰有 N 个正常模。
- 正常频率（normal frequency）
每个正常模对应的固有频率 ω/2π，由矩阵 W = PQ 的特征值 ω² 决定。
- 场的拉格朗日泛函
场论中 L 依赖场及其导数，构型空间变为无限维。动力学方程由对场做变分导出。
- 泛函导数（functional derivative）
场论中对”函数的函数”求导的推广工具，用来写出场的欧拉–拉格朗日方程，记为 δL/δΦ 等。
- 诺特定理
每一个连续对称性对应一条守恒律。时间平移→能量，空间平移→动量，旋转→角动量，规范对称→荷守恒。现代物理中最深刻的统一原则之一。
- 规范不变性（gauge invariance）
某些场变量的冗余变换不改变物理结果。电磁学中的 Aₐ → Aₐ + ∂ₐψ，以及现代非阿贝尔规范理论，都建立在此基础之上。
💡 关键洞见与论证
- 从”力学方程”到”作用量原理”的提升
Penrose 强调，真正令人惊叹的不是欧拉–拉格朗日方程本身，而是整个牛顿动力学竟能压缩为”一个标量函数的驻值问题”。物理规律不仅是局部因果关系，还具有整体变分结构。
- 坐标自由不是技术便利，而是结构深度的信号
广义坐标可以任意选取，说明动力学规律依赖的不是某套具体坐标，而是更抽象的几何对象。这与广义相对论中坐标不变性的精神一脉相承。
- 哈密顿形式的真正优势在于几何化
Penrose 不只把哈密顿方法视作”另一种写法”，而是把它当成将动力学嵌入辛几何的入口。相空间、辛形式、泊松括号、保体积流——这些概念让动力学成为几何对象的演化。
- 正常模揭示复杂系统的可分解性
稳定平衡附近的复杂系统都能近似拆解为独立的简谐振动模式。这是物理学中极为普遍的”局部线性化→谱分解”思想。量子力学中的量子谐振子、量子场论中的模展开，都直接承继此处。
- 有限维与无限维之间的方法论连续性
从质点系统到场论，看似对象性质迥异，但拉格朗日语言几乎平滑延展过去。现代物理不是零散理论的堆积，而是由少数深层形式主义贯通。
- 美并不等于终极真理
这是 Penrose 的标志性立场。他既赞叹拉格朗日—哈密顿理论的壮丽，又提醒：历史上再优美的数学体系也可能只是真理的过渡近似。成熟的理论态度，当是敬重形式的力量而不迷信形式的终局性。
- “会用，但不膜拜”
Penrose 不是单纯歌颂”写出拉格朗日量就得到理论”。他指出拉格朗日密度缺乏直接物理直觉、不同形式可能给出相同方程、构造有时显得人为。这种”善加利用，心存警觉”的姿态，正是他区别于纯形式主义者的标志。
- 不稳定平衡同样纳入框架
正常模分析不是只对稳定情况有效。当平衡不稳定时，Q 矩阵不再正定，W 的特征值可为负，对应扰动的指数增长。同一套数学覆盖了”振荡回归”与”指数逃逸”两种截然不同的行为。
🔗 跨章节联系
- 与第12章（流形与丛结构）的联系
本章大量使用构型空间、切丛、余切丛、微分形式、外微分等概念。没有第12章关于流形语言的铺垫，拉格朗日与哈密顿形式的几何内涵将无从理解。
- 与第14章（辛几何与泊松括号）的联系
第14章抽象引入的辛流形、泊松括号，在本章被安放进经典动力学中，证明这些并非纯数学玩具，而是经典物理的本体语言。
- 与第18章（闵可夫斯基几何与能量动量）的联系
动能、势能、自由落体、动量等在第18章已有物理基础，本章在更高层面将它们组织成统一的变分框架。§20.2 中的动量记号问题也直接关联第18章 §18.7 的约定。
- 与第9章（傅里叶分析）的联系
正常模分解、弦与鼓膜振动、无限维系统的模展开，都是傅里叶思想在动力学中的延伸。”复杂运动分解为频率成分”是两章共有的主线。
- 与第21–23章（量子理论）的联系
Penrose 明确说：哈密顿框架是通往标准非相对论量子力学的桥梁；正常模分析则预示量子谐振子的核心结构（§22.11）。
- 与第26章（量子场论与路径积分）的联系
本章最后展开的场拉格朗日量、作用量积分、边界条件与变分原则，正是路径积分量子化（§26.6）的概念准备。
- 与第19章（经典场论）的联系
场论拉格朗日量不再偏袒时间导数，改用协变导数 ∇ₐ 统一处理时空方向，显示理论正向相对论兼容的形式推进。Maxwell 拉格朗日量 −¼FₐᵦFᵃᵇ 与 Hilbert 引力作用量都在本章得到讨论。
- 与第31章（弦理论）的联系
Penrose 提到无限维振动系统和正常模最终连接到弦理论中”粒子即振动模态”的思想（§§31.5,7,14），本章提供了该思想的经典力学原型。
✨ 金句摘录
> “It should also be remarked that just the existence of such a mathematically elegant unifying picture appears to be telling us something deep about the mathematical underpinnings of our physical universe…”
> “还应指出：仅仅是如此优雅的统一图景的存在本身，就似乎在告诉我们，支撑物理宇宙的数学基础必然有某种深刻结构。”
> “Not many suggested laws for a physical universe could lead to mathematical structures of such imposing splendour.”
> “并非随便什么物理定律，都能导向如此宏伟壮丽的数学结构。”
> “The Euler–Lagrange equations … are astonishing in their extraordinary scope and essential simplicity.”
> “欧拉–拉格朗日方程……其适用范围之广与本质形式之简，令人惊叹。”
> “The motion of Q through C is such as to minimize the action…”
> “Q 在构型空间 C 中的运动，正是那种使作用量取驻值的运动。”
> “Much of the strength of the Hamiltonian picture lies in the fact that phase spaces are symplectic manifolds…”
> “哈密顿图景的很大一部分力量，来自相空间本身就是辛流形这一事实。”
> “One of the remarkable features of symplectic geometry is that the dynamical evolution of a system can thus be geometrically encapsulated in a single scalar function…”
> “辛几何最令人惊异的特征之一，在于一个系统的动力学演化竟能由单个标量函数以几何方式完整编码。”
> “Nature has had a habit … of first tempting us to a euphoric complacency by the power and elegance of the mathematical structures … but then jolting us … by showing us that our picture could not have been correct, after all!”
> “自然界有一种习惯：先用数学结构的力量与优雅诱使我们陷入欣快的自满，随后又猛然惊醒我们——原来的图景终究还是不对的。”
> “Lagrangians for fields are undoubtedly extremely useful as mathematical devices… But I remain uneasy about relying upon them too strongly…”
> “场的拉格朗日量无疑是极其有用的数学工具……但我仍然对过于依赖它们来寻找更根本的理论感到不安。”